Vecteur propre : vecteur dont la direction est inchangée si on le multiplie par une matrice \(M\)
(Vecteur, Direction, Produit matriciel)
\(\lambda\in{\Bbb R}\) est une valeur propre (de \(A\)) s'il existe \(v\in E\) tel que \(v\neq0\) et \(A(v)=\lambda v\)
\(v\in E\) est un vecteur propre (de \(A\)) si...
- \(v\neq0\)
- Il existe \(\lambda\in{\Bbb K}\) tel que \(A(v)=\lambda v\)
(Vecteur nul, Produit matriciel, Multiplication par un scalaire)
Si \(v\) est un vecteur propre de \(A\), alors le \(\lambda\) tel que \(\lambda v= A(v)\) est la valeur propre de \(A\) associée à \(v\)
Polynôme caractéristique d’une matrice - Polynôme associé à une matrice
Sous-espace propre
Si \(x_i\) est une combinaison linéaire des vecteurs de base de \(E_{\lambda_i}\), alors \(x_i\) est un vecteur propre de \(A\)
(Combinaison linéaire, Sous-espace propre)
Astuce :
Si la somme des coefficients sur chaque ligne d'une matrice valent \(\lambda\), alors \(\lambda\) est une valeur propre de cette matrice et \(\begin{pmatrix}1\\ \vdots\\ 1\end{pmatrix}\) est un vecteur propre pour \(\lambda\)